01. Représentation des Entiers (Complément à 2)

Pour stocker des entiers signés (positifs et négatifs), l’ordinateur utilise la notation en Complément à 2.

1. Le Principe sur N bits

Sur $N$ bits, le bit le plus à gauche (MSB) est le bit de signe :

• 0 = Positif
• 1 = Négatif

Plage de valeurs (Range)

Pour un codage sur $n$ bits, l’intervalle des entiers représentables est : $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$

Exemples du cours

• 8 bits (1 octet) : De $-2^7$ à $2^7-1$ $\to$ $[-128,+127]$
• 16 bits (2 octets) : De $-2^{15}$ à $2^{15}-1$ $\to$ $[-32768,+32767]$

2. Coder un nombre (Décimal $\to$ Binaire)

Cas Positif

Convertir simplement en binaire et compléter avec des 0 à gauche. Exemple : $+10$ sur 8 bits $\to$ 0000 1010

Cas Négatif (Méthode du Complément à 2)

Pour coder $-X$ :

1. Coder $X$ (la valeur absolue) en binaire.
2. Inverser tous les bits (0 devient 1, 1 devient 0).
3. Ajouter 1.

Exemple : Coder -100 sur 8 bits

1. $+100$ en binaire $\to$ 0110 0100
2. Inverser $\to$ 1001 1011
3. Ajouter 1 $\to$ 1001 1100

Résultat : 1100 1100 (en hexadécimal : CC)

3. Décoder un nombre (Binaire $\to$ Décimal)

Regardez le premier bit :

• Si 0... : C’est positif. Convertissez normalement.
• Si 1... : C’est négatif. Le nombre est $-(\text{compleˊment aˋ 2 du motif})$.

Attention aux Hexadécimaux

Dans vos exercices, (1010 1111) est donné en binaire, mais parfois on donne 0xFF. F = 1111, A = 1010.

4. Opérations et Overflow (Dépassement)

L’ordinateur effectue l’addition bit à bit. Si le résultat dépasse la capacité (ex: $32700+70$ sur 16 bits), on a un Overflow. Le nombre “boucle” et devient négatif (ou inversement).

$32700+70=32770$ Or, le max sur 16 bits est $32767$. Le résultat sera donc interprété comme négatif ($-32766$).