02. Réels et Norme IEEE-754

La norme IEEE-754 permet de représenter des nombres très grands ou très petits (virgule flottante). La formule générale est : $V=(-1{)}^S\times 1,M\times 2^{E-\text{biais}}$

1. Structure binaire

Le nombre est découpé en 3 parties :

1. S (Signe) : 1 bit (0 = +, 1 = -).
2. E (Exposant) : Codé avec un décalage (le biais).
3. M (Mantisse) : La partie fractionnaire (chiffres après la virgule).

Format	Taille	Signe	Exposant ($k$ bits)	Mantisse ($m$ bits)	Biais ($2^{k-1}-1$)
Simple	32 bits	1	8	23	127
Double	64 bits	1	11	52	1023

2. Méthode de conversion (Décimal $\to$ IEEE-754)

Prenons l’exemple de $-13.625$ (Exercice 3b).

Étape 1 : Signe

Négatif, donc $S=1$.

Étape 2 : Valeur absolue en binaire (Virgule fixe)

• Partie entière : $13\to 1101$
• Partie décimale : $0.625$
  • $0.625\times 2=1.25\to 1$
  • $0.25\times 2=0.5\to 0$
  • $0.5\times 2=1.0\to 1$
  • Résultat : $0.101$
• Total : $1101.101$

Étape 3 : Normalisation (Notion $1,M$)

Décaler la virgule pour n’avoir qu’un seul “1” avant la virgule : $1101.101=1.101101\times 2^3$

• Exposant réel : 3
• Mantisse (M) : 101101 (on laisse tomber le “1.” implicite).

Étape 4 : Codage de l’Exposant (Biaisé)

On ajoute le biais (dépend du format).

• Pour Simple Précision (Biais 127) : $3+127=130$.
• Convertir 130 en binaire : 1000 0010.

Résultat Final

Mettre bout à bout : S + Exposant + Mantisse (complétée par des 0).

À retenir

Pour passer de l’hexa au décimal (Ex 3.c : 7F00 0000), convertissez d’abord l’Hexa en Binaire, puis découpez les bits selon le format (1 bit, 8 bits, 23 bits).