03. Précision, Epsilon et Limites

Voir 02-Reels-IEEE754 pour les bases. Ce cours traite les cas particuliers (Ex 2 et 4).

1. Les nombres dénormalisés

Normalement, la mantisse a un “1” implicite. Mais si l’Exposant est tout à 0, on passe en mode dénormalisé.

• Formule : $(-1{)}^S\times 0,M\times 2^{1-\text{biais}}$
• Cela permet de représenter des nombres extrêmement petits, proches de 0.

Plus petit réel positif (Ex 2.a)

• Exposant : Tout à 0.
• Mantisse : 000...001 (le plus petit possible non nul).

2. Le plus grand réel représentable

• Signe : 0 (+)
• Exposant : Le max possible (tous les bits à 1 sauf le dernier, car “tous à 1” est réservé pour l’Infini/NaN).
• Mantisse : Tous les bits à 1.

3. L’Epsilon Machine ($ϵ$)

L’$ϵ$-machine est la plus petite valeur qu’on peut ajouter à 1 pour que le résultat change. $1+ϵ\ne 1$

Cela correspond au poids du dernier bit de la mantisse.

• Si la mantisse a $m$ bits : $ϵ=2^{-m}$ (en considérant l’exposant à 0 pour le chiffre 1).

Test de l'exercice 2.c

Le test $(1+\frac{1}{10^{20}}==1)$ renvoie VRAI. Pourquoi ? Parce que $10^{-20}$ est beaucoup plus petit que l’Epsilon machine (sur 64 bits, $ϵ\approx 10^{-16}$). L’ordinateur “arrondit” et ne voit pas la différence.

4. Calculs et absorbtion (Ex 2.d)

Quand on additionne un nombre GÉANT ($A$) et un petit nombre ($B$) : Si $A$ est trop grand par rapport à $B$, $B$ “disparaît” à cause du décalage de la mantisse nécessaire pour les aligner.

Exemple de l’exercice : $18014398509481984\approx 2^{54}$ Si on ajoute des valeurs petites à $2^{54}$, la précision n’est plus suffisante pour stocker les virgules, car la mantisse (52 bits) est “pleine” avec la partie entière.